跳至主要內容

1.数值与编码

𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪大约 4 分钟

整数的表示

无符号整数

无符号整数按道理来说没有补码

无符号数的减法直接减，借位减，最高位比如0-1的情况，不管，假装向前借了1位，所以最高位的0-1结果是1[1]

无符号的减法还有一种解释，在计算机内部，无符号数的加减法等同于补码进行加减法，只是最后对于结果的解释不一样，例如

// 情形一
unsigned A, B;
A = 0;
B = 1;
A - B;
// 情形二
int A, B;
A = 0;
B = 1;
A - B;

提示

两种情况计算的结果都是，A-B进行的其实是[A]补−[B]补[A]_{\text {补}}-[B]_{\text{补}}，就是[0]补−[1]补[0]_{\text {补}}-[1]_{\text{补}} = 00000000H + FFFFFFFFH = FFFFFFFFH，但是解释不同：

  • 对于无符号的来说，结果就是 FFFFFFFFH；
  • 对于有符号的来说，结果FFFFFFFFH是补码，转换成真值就是-1。

有符号整数

定点数的编码表示

定点数的编码表示

补码

  • 纯小数
  • 纯整数

{0,x,0≤x<2n2n+1+x=2n+1−∣x∣,−2n≤x<0 \begin{cases} & 0,x, \quad 0\le x\text{<}2^n \\ & 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x|,\quad -2^n\le x \text{<} 0 \end{cases}

若字长为n+1n+1,表示范围为−2n≤x≤2n−1-2^n \le x \le 2^n-1

原码补码十进制
0,00000000,00000000
0,11111110,111111127−1=1272^7-1=127
1,00000011,11111111
1,11111101,0000001−(27−1)=−127-(2^7-1)=-127
溢出[2]1,0000000-128
1,00000000,0000000[3]-0

补码表示与真值的关系

设一个二进制整数补码有n+1n+1位（含1位符号位xnx_{n}），即

[x]补=xnxn−1xn−2…x1x0 [x]_{\text{补}} = x_{n}x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1}x_{0}

其补码表示的真值为

x=−2nxn+∑i=0n−12ixi x=-2^n x_{n}+\sum_{i=0}^{n-1}2^ix_{i}

由此可以得出一个推论，即补码的高位扩展符号位，其值不变，例如补码1,1的值等于1,11,1,111,以此类推1,1111...11都一样，证明如下：
令

f(w)=xnxn−1xn−2…x1x0f(w+1)=xnxnxn−1xn−2…x1x0 \begin{align*} f(w)&=x_{n}x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1}x_{0} \\ \\ f(w+1)&=x_{n}x_{n}x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1}x_{0} \end{align*}

下面我们证明f(w)=f(w+1)f(w)=f(w+1)
按照补码表示与真值的关系，进行展开

f(w)=−2nxn+∑i=0n−12ixif(w+1)=−2n+1xn+2nxn+∑i=0n−12ixi=−2nxn+∑i=0n−12ixi \begin{align*} f(w)&= -2^n x_{n} +\sum_{i=0}^{n-1}2^ix_{i} \\f(w+1)&=-2^{n+1}x_{n}+2^n x_{n} +\sum_{i=0}^{n-1}2^ix_{i} \\ &=-2^n x_{n}+\sum_{i=0}^{n-1}2^ix_{i} \end{align*}

故可以得到f(w)=f(w+1)f(w)=f(w+1)

结论的应用

借助这个结论我们可以很方便的求一些补码的值，例如补码1,1111111，根据结论等于1,1，很显然对应的原码为1,1[4]，同时也可以按照补码的定义进行展开，则其值为−21+20=−1-2^1+2^0=-1，二者是等价的

移码

补码=补码符号取反结果，但是补码实际上的定义是真值+偏置值[5]

补码的移位操作

算术移位

  • 正数的补码在移位时，空位添 0
  • 负数的补码左移时，低位添 0；右移时高位添 1

证明

我们可以从补码关系式展开的角度来看，例如对于f(w)=xnxn−1xn−2…x1x0f(w)=x_{n}x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1}x_{0},左移一位结果为f(w+1)=xnxn−1…x1x00f(w+1)=x_{n}x_{n-1}\dots x_{1}x_{0} {\color{Red} 0}[6]

f(w)=−2nxn+∑i=1n−12ixif(w+1)=−2n+1xn+2∑i=0n−12ixi  ⟹  f(w+1)=2f(w) \begin{align*} f(w)&=-2^n x_{n} +\sum_{i=1}^{n-1}2^ix_{i} \\ f(w+1)&=-2^{n+1}x_{n}+{\color{red}2}\sum_{i=0}^{n-1}2^ix_{i} \\ \implies &f(w+1)=2f(w) \end{align*}

对应的右移一位,则f′(w)=x′xnxn−1xn−2…x1f^{'}(w)=x^{'}x_{n}x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1},即

f′(w)=−2nx′+2n−1xn+12∑i=1n−12ixi f^{'}(w)=-2^{n}x^{'}+2^{n-1}x_{n}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}2^{i}x_{i}

显然，此时若不考虑溢出，则f(w)=2f′(w)f(w)=2f^{'}(w),故对应的x′=xnx^{'}=x_{n}
此时

f′(w)=−2nx′+2n−1xn+12∑i=1n−12ixi=−2nxn+2n−1xn+…=−2n−1+12∑i=1n−12ixi=12f(w) \begin{align*} f^{'}(w)&=-2^{n}x^{'}+2^{n-1}x_{n}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}2^{i}x_{i} \\ &=-2^nx_{n}+2^{n-1}x_{n}+\dots \\ &=-2^{n-1}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}2^{i}x_{i} \\ &=\frac{1}{2}f(w) \end{align*}

即补码左移时，低位补 0，右移时，高位应该补符号位，即负数补1，正数 补 0

示例

  • 例如对于补码1,100(-4),右移一位对应的是1,110(-2),左移一位是1,000(-8)，即若没有溢出正好就是 2 倍的关系
  • 对于补码1,011(-5)，右移一位对应1,101(-3),左移一位是0110(溢出)

  1. 这个借位减算不算溢出，2011有个统考真题没有算 ↩︎

  2. 字长为 8 位时，原码和反码是不能表示-128的，至少得 9 位 ↩︎

  3. 按照补码的定义，我们可以知道 0 对应的补码表示是唯一的，即均作为+0,这个位置对应的补码实际上对应的值是-128 ↩︎

  4. 我们可以按照符号位不变，其他位取反加 1 的方式求补码对应的原码 ↩︎

  5. 偏置值取2n−12^{n-1} ↩︎

  6. 这里没有考虑溢出 ↩︎

默认页脚
Copyright © 2023 𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪