3.浮点数的表示和运算

浮点数的表示

1.格式

$$N=(-1)^S\times M\times R^E$$

• $S$取0或1,决定符号
• $M$是一个二进制定点小数,称为尾数，一般用定点原码小数表示
• $E$是一个二进制定点整数,称为阶码或指数,用移码表示
• $R$为基数

2.表示范围

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3.规格化

• 所谓规格化操作,是指通过调整一个非规格化浮点数的尾数科阶码的大小, 使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值
• 尾数$M$的绝对值应满足$1\\/R\le|M|\le 1$

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• 正数为$0.1\dots$的形式，其表示的最大值为$0.111\dots 11$,最小值为$0.100\dots 00$，范围为$1/2\le M\le(1-2^{-n})$
• 负数为$1.1\dots$的形式，其表示的最大值为$1.111\dots11$,最小值为$1.100\dots00$,$-(1-2^{-n})\le M\le -1/2$
• 当尾数为补码表示，且为$1.0\times \times\dots$形式时为规格化数^[1]

注意

基数不同,浮点数的规格化形式也不同。当浮点数尾数的基数为2时,原码规格化数的尾数最高位一定是1。当基数为4时,原码规格化形式的尾数最高两位不全为0。

浮点数规格化和IEEE754中尾数的关系

• 在IEEE754标准中尾数存在一个隐藏位1，这个1实质上就是浮点数规格化中数值位的最高位（即小数点后的一位），小数点前面的一位是符号位，然而在IEEE754中，符号位没有和尾数放在一块，尾数在最后面，这里隐含的是$1.M$，这个1是隐含的。也就是说浮点数规格化中是纯小数，而IEEE中并不是纯小数，它的整数位有一个1
• 例如$(12)_{10}=(1100)_2$，在IEEE中规格化为$1.1\times 2^3$，整数部分的1无需存储，是隐含的,若按照浮点数规格化，则应当是$0.11$
• 在平时题目中，需要特别注意，题目中到底是常规的浮点数，还是IEEE754标准的浮点数

IEEE754标准

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阶码

阶码和真值的互换

在IEE754标准中，float的偏置值127(0111 1111)，double的偏置值1023(011 1111 1111)，所以计算的时候可以根据$\text{移码}=\text{真值}+\text{偏置值}$，是二进制加减法，其中真值是+111...,-111这种类似的形式，如果不够减的话可以加上$2^8$，$2^{11}$(我感觉这里就像是无符号减法一样不够减假装向前面借了一位)，王道解释大概在五分钟左右

把阶码看做无符号数然后减去127（1024）求移码，或者是十进制真值和偏置值相加在看做无符号数转换成移码

除了阶码为1111 1111表示真值-128之外，其他所有的就是本来表示补码的真值加1

特殊的阶码

当阶码全0或者全1的时候有特殊用途

移码$E$	尾数$M$	真值
全0	全0	$\pm 0$
全0	不全为0	$\pm (0.\times\times\times)_{2}\times 2^{-126}$隐含最高位变为0[2]，且阶码真值固定视为-126
全1	全0	$\pm \infty$
全1	不全为0	非数值(NAN)[3]

浮点数的加减运算

1.对阶

• 小阶向大阶看齐的原则
• 尾数右移时,舍弃掉有效位会产生误差,影响精度

2.尾数求和

3.规格化

4.舍入

为保证运算精度,一般將低位移出的两位保留下来,参加中间过程的运算,最后将运算结果进行舍入

5.溢出判断

• 若一个正指数超过了最大允许值(127 或 1023),则发生指数上溢
• 若一个负指数超过了最小允许值(-126或-1022),则发生指数下滥,通常把结果按机器零处理。

6.类型转换

1. int转float，虽然不会发生溢出，但float尾数连隐藏位共 24 位,当int 型数的第24~31 位非0时,无法精确转换成 24 位浮点数的尾数,需进行舍入处理,影响精度
2. int 或float 转换为 double时,因double 的有效位数更多,因此能保留精确值
3. double 转换为 float 时,因float 表示范围更小,因此大数转换时可能会发生溢出。此外, 由于尾数有效位数变少,因此高精度数转换时会发生舍入
4. float 或double 转换为 int时,因int没有小数部分,因此数据会向0方向截断(仅保留整数部分),发生舍入。另外,因 int 表示范围更小,因此大数转换时可能会溢出

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1. 这里显示指的是负数的补码，正数的补码和原码一样，还和之前一样 ↩︎

2. 表示非规格化小数 ↩︎

3. 用来表示非法运算的结果，如$\infty-\infty$ ↩︎