2.运算方法和运算电路

一、基本运算部件

运算器由算术逻辑单元 ( Arithretic Logic Unit, ALU)、移位器、状态寄存器和通用寄存器组等组成
运算器的基本功能包括加、减、乘、除四则运算,与、或、非、异或等逻辑运算,以及移位、求补等操作
核心部件是加法器

标志位

溢出标志: $OF=C_{n}\oplus C_{n-1}$
符号标志就是和的符号： $SF=F_{n-1}$
零标志 $ZF=1$ 当且仅当 $F=0$
进位/借位标志 $CF=C_{out}\oplus C_{in}$

ALU 是一种功能较强的组合逻辑电路,它能进行多种算术运算和逻辑运算。核心是带标志加法器

二、定点数的移位运算

1.算数移位

	码制	添加代码
正数	原码、反码、补码	0
负数	原码	0
负数	补码	左移添0，右移添1
负数	反码	1

三种机器数移位后符号都不变

2.逻辑移位

逻辑移位的操作数视为无符号数
左移：高位丢失，低位添0
右移：低位丢失，高位添0

3.循环移位

带标志位的循环移位（大循环）和不带标志位的循环移位（小循环）
不带进位位的循环左移将最高位进入最低位和标志寄存器C位。

三、定点数的加减运算

1.补码的加减法运算

$[A+B]_\text{补} = [A]_\text{补}+[B]_\text{补} (\mod 2^{n+1})$
$[A-B]_\text{补} = [A]_\text{补}+[-B]_\text{补} (\mod 2^{n+1})$

注意

其中 $[-B]_\text{补}$ 等于连同 $[B]_\text{补}$ 的符号位取反+1，计算的结果是补码

溢出判断

设A的符号位为 $A_{s}$ ，B的符号位为 $B_{s}$ ，运算结果的符号位为 $S_{s}$

V = A_{s}B_{s}\overline{C_{s}} + \overline{A_{s}B_{s}}C_{s}

$V=0$ ，无溢出； $V=1$ ，溢出

提示

这里没什么神奇的，无非对应了四种情况^[1]，如下所示

$A_{s}$	$B_{s}$	$S_{s}$	$V$
0	0	0	0
0	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

双符号位也称为模4补码，运算结果两符号位 $S_{s_{1}}S_{s_{2}}$ 相同，表示未溢出，否则溢出，此时最高位代表真正的符号位

$S_{s_{1}}S_{s_{2}}$	结果
00	正数，无溢出
01	正溢出
10	负溢出
11	负数，无溢出

V = S_{s_{1}}\oplus S_{s_{2}}

$V=0$ ，无溢出； $V=1$ ，溢出

设符号位的进位 $C_{s}$ 、最高数据位的进位 $C_{1}$

V = C_{s}\oplus C_{1}

$V=0$ ，未溢出； $V=1$ ，溢出

2.原码的加减法运算

加法：先判断符号位，相同则绝对值相加符号位不变，不同做减法，绝对值大的减小的，符号和绝对值大的相同

减法：将减数符号取反在做加法运算

左边位出现溢出时，溢出位丢掉

3.无符号数加减运算

在计算机内，无符号数的加减运算同有符号数一样，也是转换为补码进行运算，只是最后对于结果的解释不一样

// 情形一
unsigned A, B;
A = 0;
B = 1;
A - B;

则运算为 $[A]_{\text{补}}+[-B]_{\text{补}}=[0]_{\text{补}}+[-1]_{\text{补}}=FFFFFFFFH$

只不过最后的结果是按照无符号数来解释，那么最后的结果就是FFFFFFFFH

// 情形二
int A, B;
A = 0;
B = 1;
A - B;

此时结果仍为FFFFFFFFH,但是按照有符号数来解释，结果就是-1（真值）

四、定点数的乘除运算

1.定点数的乘法运算

乘法运算可以由累加和右移位实现

手算乘法的本质

手算时的移位本质上就是为了便于中间结果进行求和，错位是因为不同结果的权不一样

原码一位乘^[2]

符号位和数值位分开求，符号位由两个数的符号位亦或形成，乘积部分是两个数的绝对值相乘之积

运算步骤如下：

被乘数和乘数都取绝对值参与运算，且符号位由两个数的符号位亦或形成
部分积是乘法过程的中间结果。乘数的每一位 $y_{i}$ 乘以被乘数，该结果和前面所得的结果（部分积）累加，其中部分积初值是0
从乘数的最低位 $y_{n}$ 开始判断，若 $y_{n} = 1$ ，则部分积加上被乘数 $\mid x |$ ，右移一位，否则部分积加上0，右移一位
重复步骤3，判断 $n$ 次。其中右移和加法都是判断 $n$ 次

注

部分积和乘数做加法的过程中，可能存在部分积溢出的情况，但是此时并非溢出，所以部分积和乘数采用双符号位^[3]

例子：

补码一位乘（BOOTH算法）

步骤如下：

运算数的符号参与运算，都以补码表示，最终符号的结果由运算所得
被乘数取双符号位，部分积也取双符号位，初值为0，乘数取单符号位
在乘数末尾增设附加位 $y_{n+1}$ ，初值为0
再根据 $y_{n+1}-y_{n}$ $y_{n + 1} - y_{n}$ :
1. 结果为0，部分积加上0
2. 结果为1，部分积加上 $[x]_\text{补}$
3. 结果为-1，部分积加上 $[-x]_\text{补}$ 。
4. 部分积右移一位
算法进行 $n+1$ 步操作，累加 $n+1$ 次，右移 $n$ 次

例子：

两者的区别

2.定点数的除法运算

除法可以转换成累加+左移（逻辑左移）

原码除法

恢复余数法

加减交替法（不恢复余数法）

减法操作用补码实现，符号由两个操作数符号异或形成
被减数减去除数，余数为正（说明够除），上商1，余数和商左移一位，再减去除数；为负，上商0，余数和商左移一位，再加上除数
当 $n+1$ 步余数为负时，需要加上除数 $\mid Y|$ 得到正确的除数，即不恢复余数法仅当最后一步不够减的时候才恢复余数
$n$ 次移位， $n+1$ 次加法

补码除法（加减交替法）

符号位和数值位一同运算
根据被除数和除数符号决定做加法还是减法
上商根据余数和除数符号决定，同1，左移减除数，异0，左移加除数^[4]，最后一步商恒置1（所以会有一定误差）
$n$ 次移位， $n+1$ 次加法

数据的存储和排列

数据的“大端方式”和“小端方式”存储

例如,在 32 位计算机中,一个int 型变量i的机器数为 01 23 45 67H,其最高有效宇节MSB =01H,最低有效宇节LSB=67H。

大端方式按从最高有效字节到最低有效字节的顺序存储数据,即最高有效字节存放在前面;
小端方式按从最低有效字节到最高有效字节的顺序存储数据,即最低有效字节存放在前面。

数据按“边界对齐”方式存储

假设存储字长为 32 位,可按字节、半字和字寻址。对于机器字长为 32 位的计算机,数据以边界对齐方式存放,半字地址一定是2的整数倍,字地址一定是4 的整数倍,这样无论所取的数据是字节、半字还是字,均可一次访存取出。所存储的数据不满足上述要求时,通过填充空白字节使其符合要求。这样虽然浪费了一些存储空间,但可提高取指令和取数的速度。
数据不按边界对齐方式存储时,可以充分利用存储空间,但半字长或字长的指令可能会存储在两个存储字中,此时需要两次访存,并且对高低字节的位置进行调整、连接之后才能得到所要的指令或数据,从而影响了指令的执行效率。

按照真值表来考虑，这里应该有八种情况（从000到111），然而其中有四种状态是无效的，因为只有两个符号位相同的数运算结果才可能溢出 ↩︎
原码的乘法运算--8:59open in new window ↩︎
双符号位最高位为真正的符号位，移位时部分积的符号位也跟着移位，并且在最高位添0 ↩︎
还有一种说法是被除数和除数异号相除时，够减上0，不够减上1 ↩︎

2.运算方法和运算电路

# 一、基本运算部件

# 二、定点数的移位运算

# 1.算数移位

# 2.逻辑移位

# 3.循环移位

# 三、定点数的加减运算

# 1.补码的加减法运算

# 溢出判断

# 2.原码的加减法运算

# 3.无符号数加减运算

# 四、定点数的乘除运算

# 1.定点数的乘法运算

# 原码一位乘[2]

# 补码一位乘（BOOTH算法）

# 2.定点数的除法运算

# 原码除法

# 恢复余数法

# 加减交替法（不恢复余数法）

# 补码除法（加减交替法）

# 数据的存储和排列

# 数据的“大端方式”和“小端方式”存储

# 数据按“边界对齐”方式存储