数列与极限 数列极限定义 image.png 提示 数列[1]limn→∞xn=a\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n}=an→∞limxn=a 的充分必要条件是limn→∞x2n−1=limn→∞x2n=a\lim\limits_{ n \to \infty }x_{2n-1}=\lim\limits_{ n \to \infty }x_{2n} = an→∞limx2n−1=n→∞limx2n=a，这里的2n和2n-1可以代表所以的整数，如果是3n的话就需要是3n，3n-1，3n-2。 limn→∞x2n−1=a\lim\limits_{ n \to \infty }x_{2n-1}=an→∞limx2n−1=a limn→∞x2n=b\lim\limits_{ n \to \infty }x_{2n} = bn→∞limx2n=b，且a≠ba\neq ba=b，则limn→∞xn\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n}n→∞limxn不存在。 𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪大约 1 分钟高数数列极限
函数与极限 极限的定义 数列的极限 limn→∞xn=a\lim_{ n \to \infty }x_{n}=alimn→∞xn=a的几何意义是:对于aaa点的任何ϵ\epsilonϵ邻域即开区间(a−ϵ,a+ϵ)(a-\epsilon ,a+\epsilon )(a−ϵ,a+ϵ),一定存在NNN,当n>Nn>Nn>N即第NNN项以后的点xnx_{n}xn都落在开区间(a−ϵ,a+ϵ)(a-\epsilon ,a+\epsilon )(a−ϵ,a+ϵ)内，而只有有限个（最多有NNN个）在这区间之外𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪大约 5 分钟高数极限
数学归纳法教科书给定如下**（第一）数学归纳法**的概念： 一般地，证明一个与正整数 nnn 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 n=n0n=n_0n=n0（ n0∈N∗n_0\in N^{*}n0∈N∗ ）时命题成立； （2）（归纳递推）假设当n=kn=kn=k （ k∈N∗k\in N^{*}k∈N∗， k≥n0k\geq n_0k≥n0）时命题成立，证明当 n=k+1n=k+1n=k+1时命题也成立。 根据（1)(2)就可以断定命题对于从 n0n_0n0开始的所有正整数 nnn 都成立。上述证明方法叫作数学归纳法。 𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪小于 1 分钟高数
常用公式结论 常用公式结论 基础公式 an−bn=(a−b)∑i=0n−1aibn−1−i=(a−b)(a0bn−1+abn−2+a2bn−3+⋯+an−3b2+an−2b+an−1b0) \begin{aligned} a^{n}-b^{n}& \begin{aligned}&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}\end{aligned} \\ &=(a-b)(a^0b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\cdots+a^{n-3}b^2+a^{n-2}b+a^{n-1}b^0) \end{aligned} an−bn=(a−b)i=0∑n−1aibn−1−i=(a−b)(a0bn−1+abn−2+a2bn−3+⋯+an−3b2+an−2b+an−1b0)𝓳𝓭𝔂𝓼𝔂𝓪大约 6 分钟高数公式结论
