极限的定义

数列的极限

$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=a$的几何意义是:对于$a$点的任何$\epsilon$邻域即开区间$(a-\epsilon ,a+\epsilon )$,一定存在$N$,当$n>N$即第$N$项以后的点$x_{n}$都落在开区间$(a-\epsilon ,a+\epsilon )$内，而只有有限个（最多有$N$个）在这区间之外

极限的性质

有界性

数列收敛，则数列一定有界，反之不成立
无界数列一定发散,但发散数列不一定无界（例如 1 0 1 0 1 0....）

函数有界性

如果函数连续，并且在边界极限存在那么这个函数也是有界的

保号性

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极限的计算

t1、利用四则运算法则求极限

t2、利用两个重要极限求极限

$$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1$$

$$\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e$$

由第二重要极限可得出以下的极限结果：

$$\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{a}{x} \right)^{bx+c}=e^{ab}$$

$$\lim_{ x \to 0 } (1+ax)^{b/x+c}=e^{ab}$$

求幂指函数$f(x)^{g(x)}$的极限，常用方法如下：

1. $\lim f(x)^{g(x)}= e^{\displaystyle\lim g(x)\ln f(x)}$
2. 若为$1^{\infty}$型，可利用第二重要极限
3. 若$\lim f(x) = A >0,\lim g(x) = B$，则$\lim f(x)^{g(x)}=A^B$

t3、利用等价无穷小替换求极限

常用的等价无穷小

和差关系在满足一定条件下可以作等价替换

说明二者是同阶的

• 幂指函数的常规做法

t4、利用洛必达法则求极限

t5、利用夹逼准则求极限

一个常用的结论：

$$\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{1}^n+a_{2}^n+\dots+a_{m}^n }=a$$

t6、利用单调有界数列极限准则求极限

• 一般题目都是给出的和的关系，一般会用到数学归纳法证明

• 单调有界数列必有极限
• 单调递增有上界数列必有极限
• 单调递减有下界数列必有极限

一般步骤如下：

1. 证明数列单调有界（多用数学归纳法）
2. 令$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=a$,对给定的关系式两边求极限，解出$a$

典型例题如下：

t7、利用无穷小的性质求极限

无穷小和有界量的乘积仍为无穷小

t8、利用函数的连续性求极限

1. 若$f(x)$在$x=x_{0}$点连续，则$\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=f(x_{0})$
2. 若$f(x),\varphi(x)$为连续函数，则$\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} }f[\varphi(x)]=f[\lim_{ x \to x_{0} }\varphi(x)]$
3. 若$\lim f(x)^{g(x)}=[\lim f(x)]^{\lim g(x)}=A^B$

t9、利用泰勒公式求极限

$$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$$

应用拉格朗日中值定理

例题

设$\lim_{ x \to \infty }f'(x)=k$,求$\lim_{ x \to \infty }[f(x+a)-f(x)]$

相关信息

根据拉格朗日中值定理，有$f(x+a)-f(x)=f'(\xi)a$,其中$\xi$介于$x+a$与$x$之间
当$x\to\infty$时，$\xi\to\infty$，于是

$$\lim_{ x \to \infty }[f(x+a)-f(x)]=\lim_{ x \to \infty } f'(\xi)\cdot a=a\lim_{ \xi \to \infty } f'(\xi)=ak$$

t10、x趋于0或无穷时，所求极限形式是除法

趋于零就上下同除以最小阶的
趋于无穷除最大阶的

例如：

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利用导数的定义求极限(见第二章).

利用定积分的定义求极限(见第三章)。

利用级数收敛的性质求极限(见第七章)(数学二不要求).

函数的连续性与间断点

间断点

定义

设函数f(x) 在点 $x_{0}$的某去心邻域内有定义,在此前提下，如果函数$f(x)$有
下列三种情形之一：

1. 在点$x_{0}$没有定义；
2. 虽在点$x_{0}$有定义，但$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$不存在；
3. 虽在点$x_{0}$有定义，且$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$存在,但

$$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\neq f(x_{0})$$

那么函数$f(x)$在点$x_{0}$为不连续,而点$x_{0}$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点.

判断方式

例题

图像.png

图像.png

判断间断点就是看那些定义不存在的点然后判断他们的左右极限，或者是分段函数分段的地方。

闭区间上连续函数的性质

一些笔记

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三角函数是周期函数，这里取自变量为$2n\pi+\frac{\pi}{2}$可以得到确切的值，即得到的函数值与三角函数无关，更加便于讨论

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指数部分是变化的，和$n$的奇偶性有关，索性就直接令$n=2n-1$和$n=2n$

对于b选项，可以理解为

$$x_{2n}\text{和}x_{2n+1}\text{是一组，因为}\lim x_{2n+2}=\lim x_{2(n+1)}=\lim x_{2n}$$

故b选项中的前置条件就已经包括了所有条件，而D选项一组明显是 3 个，而题目只给了两个，故不能判断

可以参考论坛中对于本次的 讨论

函数极限中的无穷分为正无穷和负无穷