常用公式结论

基础公式

$$\begin{aligned} a^{n}-b^{n}& \begin{aligned}&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}\end{aligned} \\ &=(a-b)(a^0b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\cdots+a^{n-3}b^2+a^{n-2}b+a^{n-1}b^0) \end{aligned}$$

详聊如何理解$a^n-b^n$因式分解

$$\begin{align*} a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2) \end{align*}$$

$$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

如何求解$1^2+2^2+\dots+n^2$

$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

自然数立方和公式推导方法汇总

$$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$$

数列

等比数列

$$\begin{align*} a_{n}&=a_{1}\times q^{n-1} \\ a_{n}&=a_{m}\times q^{n-m} \end{align*}$$

$$S_n=\begin{cases} &na_{1},\quad q=1 \\ & \displaystyle\frac{a_1\times (1-q^n)}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q},\quad q\neq 1 \end{cases}$$

$$\lim_{ n \to \infty } S_{n}= \frac{a_{1}}{1-q}(|q|<1)$$

点到直线距离

对于直线$ax+by+c=0$，点$(x_{0},y_{0})$到直线的距离为$\displaystyle \frac{ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt{a^2+b^2 }}$

三角函数

$x\in(0, \pi/2),\sin x<x<\tan x$

诱导公式

$$\sin\left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\cos\alpha$$

$$\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\cos\alpha$$

$$\cos\left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\sin\alpha$$

$$\cos\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\sin\alpha$$

和差化积

$$\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)] \\$$

$$\cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)] \\$$

$$\sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos(x-y)-\cos(x+y)] \\$$

$$\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] \\$$

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\$$

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\$$

函数

设$\varphi(x)$是可微函数$f(x)$的反函数，则

$$\varphi([f(x)])=x$$

极限

常用的等价无穷小

当$x\rightarrow 0$时，有

$$\begin{align*} \sin x&\sim x \\ \arcsin x&\sim x \\ 1-\cos x &\sim \frac{1}{2}x^2 \\\tan x&\sim x\\ \arctan x&\sim x\\ a^x-1&\sim x\ln a(a>0)\\ (1+x)^\alpha-1&\sim \alpha x(\alpha \text{为任意常数})\\ \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}&\sim x\\ x-\ln{(1+x)}&\sim \frac{1}{2}x^2 \\ x-\sin x &\sim \frac{1}{6}x^3 \\ x-\arcsin x &\sim -\frac{1}{6}x^3 \\ x-\arctan x &\sim \frac{1}{3}x^3 \\ x-\tan x &\sim -\frac{1}{3}x^3 \end{align*}$$

函数常用极限

$\lim\limits_{ n \to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{ n \to +\infty }\arctan x=\frac{\pi}{2}$

两个重要极限

$$\begin{array}{c} \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e \end{array}$$

一些解题公式

$$\begin{aligned} &\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6} \\&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x-x}{x^3}=\frac{1}{6} \\&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-x}{x^3}=\frac{1}{3} \\&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\arctan x}{x^3}=\frac{1}{3} \end{aligned}$$

需要注意的是，当$x\rightarrow 0$时，有

$$\sin x< x<\tan x$$

对$\ln u(x)$型的无穷小，做如下等价变换

$$\ln u(x)= \ln[1+u(x)-1]\sim u(x)-1$$

微分学

一元函数微分学

$$(a^x)^{(n)}=a^x\ln^n a$$

$$\left( \frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^n \frac{a^n\cdot n \text{!}}{(ax+b)^{n+1}}$$

常用麦克劳林公式

$\frac{1}{\sqrt{ x- x^2}}$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3)$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$$

$$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}+\frac{1\times3}{2\times4}\times\frac{x^5}{5}+\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\times\frac{x^7}{7}+o(x^7)$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$$

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)$$

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$$

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$$

积分

不定积分

基础公式

$$\begin{align} &\int \frac{dx}{x} = \ln|x|+C\\ &\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\int \sec^2x \, dx =\tan x+C \\ &\int \frac{1}{\sin^2x} dx=\int \csc^2x dx=-\cot x+C \\ &\int \sec x\tan x \,dx =\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx =\int \mathrm{d}\left( \frac{1}{\cos x} \right) dx =\sec x+C \\ &\int \csc x\cot x \, dx =\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx =\int \mathrm{d}\left( \frac{1}{\sin x} \right) dx =-\csc x+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{ x^2-1 }} = \ln(x+\sqrt{ x^2-1 })+C \\ &\int\tan x dx=-\ln|\cos x|+C \\ & \int\cot xdx=\ln|\sin x|+C \\ & \int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C \\ &\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C \\ & \int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ & \int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ & \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C \\ & \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \\ & \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{align}$$

常见积分

$$\int \cos(\ln t) dt =\int e^x\cos x dx (\text{令}x=\ln t)=\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$$

$$\begin{align*} \int \sqrt{ 1+x^2 } dx &=x\sqrt{ 1+x^2 }-\int x\mathrm{d}(\sqrt{ 1+x^2 }) d\\ &=x\sqrt{ 1+x^2 }-\int \frac{x^2}{\sqrt{ 1+x^2 }} dx\\ &=x\sqrt{ 1+x^2 }-\int \frac{(x^2+1)-1}{\sqrt{ 1+x^2 }}dx\\ &=x\sqrt{ 1+x^2 }-\int \sqrt{ 1+x^2 } dx +\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2 } } dx \\ \implies 2\int \sqrt{ 1+x^2 } dx&=x\sqrt{ 1+x^2 }+\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 })\\ \implies \int \sqrt{ 1+x^2 } dx&=\frac{1}{2} (x\sqrt{ 1+x^2 }+\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 })) \end{align*}$$

定积分

$$\begin{align*} \int_0^{\pi/2} \sin^n x dx &= \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx \\ &= \begin{cases} \displaystyle\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{当 } n \text{ 为正偶数， } I_0 = \frac{\pi}{2}. \\ \displaystyle\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{2}{3}, & \text{当 } n \text{ 为大于1的正奇数， } I_1 = 1. \end{cases} \end{align*}$$

设$f(x)$为连续函数，则

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)\mathrm{d}x$$

提示

1. 令$t=\pi-x$

$$\int _{0}^{\pi}xf(\sin x) dx=\frac{\pi}{2}\int _{0}^\pi f(\sin x) dx \quad (\text{其中}f(x)\text{连续})$$

常见积分

见反常积分

$$\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2} dx=2\int _{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{ \pi }$$

特殊点

驻点：导数为0的点，极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点
拐点：凹凸性改变的点，可能是二阶导等于0的点也可能二阶导是不存在的点
极值点：这个点是x的值，而不是一个坐标

$$f(x)\text{可导}\implies \text{连续}\implies \text{可积}\implies \text{有界}$$