二重积分

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概念、性质与对称性

几何背景

二重积分的几何背景就是曲顶柱体的体积

提示

对比一重积分的 $dx$ 和二重积分的 $d \sigma$ ， $dx$ 可正可负，而后者只能是正值

性质

二重积分中值定理

新增知识点

性质 7(二重积分的中值定理) 设函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续, $A$ 为 $D$ 的面积,则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ , 使得

\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) A .

普通对称性

\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\left\{\begin{array}{ll} 2 \displaystyle\iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y, & f(x, y)=f(-x, y), \\ 0, & f(x, y)=-f(-x, y), \end{array}\right.

其中 $D_{1}$ 是 $D$ 在 $y$ 轴右边的部分.

轮换对称性

只能在直角坐标系下

若把 $x$ 与 $y$ 对调后, 区域 $D$ 不变(或区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称),则

\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} f(y, x) \mathrm{d} \sigma

计算

直角坐标系

$\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle\int_{a}^{b} \mathrm{d} x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$ , 其中 $D$ 为 $X$ 型区域: $\varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b$ ;
$\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle\int_{c}^{d} \mathrm{d} y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x$ , 其中 $D$ 为 $Y$ 型区域: $\psi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \psi_{2}(y), c \leqslant y \leqslant d$ .

极坐标系

$\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r($ 极点 $O$ 在区域 $D$ 外部);
$\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r$ (极点 $O$ 在区域 $D$ 边界上)
$\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r$ (极点 $O$ 在区域 $D$ 内部).

提示

极坐标系下,几乎所有的计算都是先积 $r$ ,后积 $\theta$ ,

极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

一般来说，给出一个二重积分.
(1)看被积函数是否为 $f\left(x^{2}+y^{2}\right), f\left(\frac{y}{x}\right), f\left(\frac{x}{y}\right)$ 等形式;
(2)看积分区域是否为圆或者圆的一部分.
如果两者兼是或者满足第一个, 那么优先选用极坐标系. 否则, 就优先考忠直角坐标系. (这只是一般原则, 是大方向, 请大家一定不要教条化)

常见计算

计算 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x$ .

设 $I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x$ , 则

\begin{aligned} I^{2} & =\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \\ & =\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} y=\iint_{\substack{0 \leqslant x<+\infty \\ 0 \leqslant y<+\infty}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \end{aligned}

用极坐标变换 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^{2}} \cdot r \mathrm{d} r=\frac{\pi}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^{2}} \mathrm{d}\left(-r^{2}\right)$

=-\left.\frac{\pi}{4} \mathrm{e}^{-r^{2}}\right|_{0} ^{+\infty}=\frac{\pi}{4},

由积分保号性知 $I>0$ , 故 $I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ .

用二重积分变换积分次序一重积分

设 $f(x)=\int_{x}^{1} \sin \left(\pi u^{2}\right) \mathrm{d} u$ , 求 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ .

解方法一

\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x =\left.x f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x \mathrm{d}[f(x)]

=\int_{0}^{1} x \sin \left(\pi x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} .

方法二化为二重积分, 交换积分次序.

\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{x}^{1} \sin \left(\pi u^{2}\right) \mathrm{d} u=\iint_{D} \sin \left(\pi u^{2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{d} x

=\int_{0}^{1} \mathrm{d} u \int_{0}^{u} \sin \left(\pi u^{2}\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} u \sin \left(\pi u^{2}\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{\pi},

这里, $D=\{(x, u) | 0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant u \leqslant 1\}$ .

二重积分

# 概念、性质与对称性

# 几何背景

# 性质

# 二重积分中值定理

# 普通对称性

# 轮换对称性

# 计算

# 直角坐标系

# 极坐标系

# 极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

# 常见计算