不定积分

注意

1. 2 个概念^[1]，3 种方法^[2]，2 类积分^[3]
2. 不定积分属于无底洞，熟练掌握基本方法即可^[4]，考研不会涉及难度较高的特殊积分方法

求解方法

1.换元

第一类换元法

定理

设$f(u)$具有原函数，$u=\varphi(x)$可导，则有换元公式

$$\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x) dx=\left[ \int f(u) du \right]_{u=\varphi(x)}$$

第二类换元法

适当地选择变量代换$x=\psi(t)$，将积分$\displaystyle \int f(x) dx$化为积分$\displaystyle\int f[\psi(t)]\psi'(t) dt$

定理

设$\psi(t)$是单调的可导函数，并且$\psi'(t)\neq 0$,又设$f[\psi(t)]\psi'(t)$具有原函数，则有换元公式

$$\int f(x) dx=\left[ \int f[\psi(t)]\psi'(t) dt \right]_{t=\psi^{-1}(x)}$$

其中$\psi^{-1}(x)$是$x=\psi(t)$的反函数

1. 三角函数代换

$$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \stackrel{\text { 令 }}{\longrightarrow} x=a \sin t,|t|<\frac{\pi}{2}, \\ \sqrt{a^{2}+x^{2}} \stackrel{\text { 令 }}{\longrightarrow} x=a \tan t,|t|<\frac{\pi}{2}, \\ \sqrt{x^{2}-a^{2}} \stackrel{\text { 令 }}{\longrightarrow} x=a \sec t,\left\{\begin{array}{l} \text { 若 } x>0 \text {, 则 } 0<t<\frac{\pi}{2}, \\ \text { 若 } x<0, \text { 则 } \frac{\pi}{2}<t<\pi . \end{array}\right. \end{array}\right.$$

2. 恒等变形后作三角函数代换

当被积函数含有根式，$\sqrt{ax^{2}+bx+c}$时，可先化为一下三种形式，$\sqrt{\varphi^{2}(x)+k^{2}},\sqrt{\varphi^{2}(x)-k^{2}},\sqrt{k^{2}-\varphi^{2}(x)},$再作三角函数代换

3. 根式代换

当被积函数还有根式$\sqrt[n]{ax+b},\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}},\sqrt{a\mathrm{e}^{bx}+c}$等时，一般令根式等于t，对既含有$\sqrt[n]{ax+b}$也含有$\sqrt[m]{ax+b}$，取$m,n$的最小公倍数l，$\sqrt[l]{ax+b}=t$

4. 倒代换

当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时，作倒代换，令$x=\frac{1}{t}$

5. 复杂函数的直接代换

2.分部积分

分部积分

$$\int u dv=uv-\int v du$$

推广公式:

$$\int uv^{(n+1)}\mathrm{d}x=uv^{(n)}-u^{\prime}v^{(n-1)}+u^{\prime\prime}v^{(n-2)}-\cdots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x$$

$u$的各阶导数	$u$	$u$	$u''$	$u'''$	$\dots$	$u^{(n+1)}$
$v^{(n+1)}$的各阶原函数	$v^{(n+1)}$	$v^{(n)}$	$v^{(n-1)}$	$v^{(n-2)}$	$\dots$	$v$

计算方法:

以$u$作起点左上、右下错位相乘,各项符号+,-相间,最后一项为$\displaystyle(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x$

对于$\displaystyle\int P_{n}(x)\operatorname{e}^{kx}\operatorname{d}x,\int P_{n}(x)\sin ax\operatorname{d}x,\int P_{n}(x)\cos bx\operatorname{d}x$三种积分，令$u=P_{n}(x)$,则$u^{(n+1)}=0$,于是积分便可顺利算出

例如，对于$\displaystyle\int\left(x^{3}+2x+6\right)\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x$，则

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x^3+2x+6&3x^2+2&6x&6&0\\\hline e^{2x}&\frac{1}{2}e^{2x}&\frac{1}{4}e^{2x}&\frac{1}{8}e^{2x}&\frac{1}{16}e^{2x}\\\hline\end{array}$$

$$\begin{aligned} \text{原式}& =(x^{3}+2x+6)\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)-(3x^{2}+2)\left(\frac{1}{4}e^{2x}\right)+6x\left(\frac{1}{8}e^{2x}\right)-6\left(\frac{1}{16}e^{2x}\right)+\int0\cdot\left(\frac{1}{16}e^{2x}\right)\mathrm{d}x \\ &=\left(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8}\right)\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{C}. \end{aligned}$$

提示

如果被积函数是幂两数和正(余)弦函数或幂函数和指数两数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数为$u$,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次,这里假定幂指数是正整数

典型题目

1. 通过分部积分求出结果中有带有等式左边的项，合并后得出结果

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2. 直接通过分部积分转换积分变量求解

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顺序

提示

1. 指数函数>三角函数>幂函数>对数函数、反三角函数
2. 类似$\int e^x\sin x\, dx,\int e^x\cos x\, dx$应连用两次，移项解方程

• 幂函数和三角函数在一起，将三角函数令为$v$

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• 对数函数和幂函数，幂函数为$v$

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• 幂函数和指数函数，指数函数为$v$

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• 三角函数和指数函数，指数函数为$v$

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• 反三角函数和幂函数，幂函数为$v$

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3.有理函数的积分

参考有理分式的分解，将函数进行分解成多个分式之和，然后分别积分

以下是几个例子

$$\begin{align*} \int \frac{2}{x^2-2x+5} dx &=\int \frac{d\left( \frac{x-1}{2} \right)}{\left( \frac{x-1}{2} \right)^2+1 } dx \\ &=\arctan \frac{x-1}{2}+C \end{align*}$$

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提示

1. 对于分子为常数项，分母为$Ax^2+Bx+C$形式的分式，积分方法是将分母化为$x^2\pm a^2$的形式，然后利用下述积分公式

$$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$

$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$

2. 对于分子有低于分母最高次幂的项，可以将分子的项转为微分的形式，例如分母为$x^2+1$,分子为$2x$，则可将分子转换为$d(x^2+1)$，这样对$x^2+1$整体进行积分
3. 若分母为$(x^2+x+1)^2$这种，则是化为$1+x^2$形式后，利用$1+\tan^2 t=\sec^2 t$进行三角换元

4.三角有理式的积分

🤪一般方法（万能代换）

令 $\displaystyle\tan \frac{x}{2}=t$，则

$$\int R(\sin x,\cos x) dx=\int R\left( \frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2} \right) \frac{2}{1+t^2} dt$$

👀特殊方法🌟

1. 若$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$,则令$u=\cos x$^[5]
2. 若$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$,则令$u=\sin x$^[6]
3. 若$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$,则令$u=\tan x$^[7]

例题

1. $\text{求}\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin2x+2\sin x}.$

$$\begin{aligned}\text{原式}&=\int\frac{\mathrm{d}x}{2\sin x(\cos x+1)}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\frac{x}{2}\cos^3\frac{x}{2}}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}\left(\tan\frac{x}{2}\right)}{\tan\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}\\\\&=\frac{1}{4}\int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}}\mathrm{d}\left(\tan\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{8}\tan^2\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C.\end{aligned}$$

2. $\text{求}\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}.$

$$\text{原式}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(\cos\frac x2+\sin\frac x2\right)^2}=\int\frac{\sec^2\frac x2}{\left(1+\tan\frac x2\right)^2}\mathrm{d}x=2\int\frac{\mathrm{d}\left(1+\tan\frac x2\right)}{\left(1+\tan\frac x2\right)^2}=-\frac2{1+\tan\frac x2}+\mathrm{C}.$$

5.简单无理函数积分

形如$\displaystyle\int R\left( x,\sqrt[n]{ \frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$，一般令$t=\displaystyle\sqrt[n]{ \frac{ax+b}{cx+d}}$，或根据具体题目可能有简单方法

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1. 原函数、不定积分 ↩︎

2. 两类换元、分部 ↩︎

3. 有理函数、三角有理式 ↩︎

4. 花再多时间，也不会做的很顺手，要掌握好尺度 ↩︎

5. 凑$\mathrm{d}(\cos x)$ ↩︎

6. 凑$\mathrm{d}(\sin x)$ ↩︎

7. 凑$\mathrm{d}(\tan x)$ ↩︎