导数与微分

求导数举例

求函数$f(x)=x^n (n\in \mathbb{N_+} )$的导数

$$\text{当}n=1\text{时},f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1$$

当$n\text{>}1$时

$$\begin{align*} f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\lim_{ h \to 0 } \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\binom {n} {k} x^kh^{n-k}+x^n-x^n}{h}\\ &=\sum_0^{n-1}\binom {n} {k} x^kh^{n-k-1}\\ &=\sum_0^{n-2}\binom {n} {k} x^kh^{n-k-1}+nx^{n-1} \end{align*}$$

故

$$\lim_{ h \to 0 }f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \sum_0^{n-2}\binom {n} {k} x^kh^{n-k-1}+nx^{n-1}=n^{x-1}$$

求幂函数$f(x)=x^\mu(\mu\in R)$的导数

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^\mu-x^\mu}{h}=x^{\mu-1}\cdot\frac{\left( 1+\frac{h}{x} \right)^\mu-1}{\frac{h}{x}}$$

利用

$$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x(\alpha \text{为任意常数})$$

可得

$$f'(x)=\mu x^{\mu-1}$$

函数可导性与连续的关系

可导一定连续，连续不一定可导

反函数求导法则

设$y-f(u)$，而$u=g(x)$且$f(u)$及$g(x)$都可导，则复合函数$y=f[g(x)]$的导数为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

或

$$y'(x)=f'(u)\cdot g'(x)$$

常用导数

$$y=\ln(x+\sqrt{ a^2+x^2 }) \implies y'= \frac{1}{\sqrt{ a^2+x^2 }}$$

$$y=\ln(\sec x+\tan x)\implies y'= \sec x$$

$$y= \ln(\csc x-\cot x)\implies y'=\csc x$$

参数方程

对于参数方程

$$\begin{cases} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t) \end{cases}$$

对应的导数

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\varphi'(t)\psi''(t)}{\varphi'^3(t)}$$

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渐进线

1.铅锤渐进线

若$\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=\infty$(或$\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)=\infty$),则$x=x_{0}$为一条铅垂渐近线

2.水平渐近线

若$\lim_{ x \to +\infty }=y_{1}$,或$\lim_{ x \to -\infty }=y_{2}$,或$\lim_{ x \to \infty }=y_{0}$,则对应的$y=y_{i}$为水平渐近线

3.斜渐近线

若$\lim_{ x \to +\infty }\frac{f(x)}{x}=a_{1},\lim_{ x \to +\infty }[f(x)-a_{1}x]=b_{1}$,则$y=a_{1}x+b_{1}$是曲线$y=f(x)$的一条斜渐进线
$x\to-\infty$或$x\to\infty$同理