注意事项

警告

下面这个做法是错误的: 由积分中值定理, 有

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{d} x=\frac{\xi^{n}}{1+\xi}, 0<\xi<1$$

于是

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\xi^{n}}{1+\xi}=0$$

对于一个$(0,1)$之间的数，令其为$x_{0}$只有当它是一个确定的数的时候,我们才能说

$$\lim_{ x \to \infty } x_{0}^x= 0$$

这是根据指数函数$y=a^x(a<1)$的函数图像得到的

但是，如果这个数并不是具体的常数，而是一个表达式，那么我们是不能想当然的认为对应的极限是多少，例如

$$\lim_{ x \to \infty } \left( 1-\frac{1}{x} \right)^x=e^{-1}$$

$$\lim_{ x \to \infty } (1-0.1x)^x=0$$

$$\lim_{ x \to \infty } (1-0.1^x)^x=1$$

因此对应到上面，积分中值定理中的$\xi$是针对具体的$n$的，这句话意思是说对于$\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \mathrm{d} x$这个$\xi$可能是$\xi_{1}$,对于$n=2$时，可能就是$\xi_{2}$,并不是一个确定的数