微分方程

微分方程的概念

微分方程的通解

注意

对于求解一些微分方程通解的时候，通常会有特殊点（奇解），如果能让常数取到某一值而让方程包含这一特殊值，就让在确定常数范围时加上这一值，如果不能就直接不用管。

一阶微分方程的求解

变量可分离型

可化为变量可分离型

1. (1) 形如 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=f(a x+b y+c)$ 的方程, 其中常数 $a, b$ 全都不为零. 其解法为令 $u=a x+b y+c$, 则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=a+b \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$, 代人原方程得 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=a+b f(u)$.
2. (2) 齐次型微分方程.
   如, 对于微分方程
   将其变形为

$$\displaystyle \left(x+y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-x \cos \frac{y}{x} \mathrm{d} y=0,$$

$$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{x+y \cos \frac{y}{x}}{x \cos \frac{y}{x}}=\frac{1+\frac{y}{x} \cos \frac{y}{x}}{\cos \frac{y}{x}}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right) .$$

形如 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的方程叫作齐次型微分方程. 其解法为令 $u=\frac{y}{x}$, 则

$$\displaystyle y=u x \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x},$$

于是原方程变为 $\displaystyle x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+u=\varphi(u)$, 即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x}$.

高阶线性微分方程的求解

$n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解

方程 $y^{(n)}+p_{1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} y{\prime}+p_{n} y=0$ 称为 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为常 数, 其对应的特征方程为 $r^{n}+p_{1} r^{n-1}+\cdots+p_{n-1} r+p_{n}=0$, 求出其特征根. 有如下情况需要大家牢记 (其中 大写的英文字母均为任意常数).

1. 特征根为单实根 $r$ 时, 微分方程通解中对应一项 $C \mathrm{e}^{r x}$;
2. 特征根为 $k$ 重实根 $r$ 时, 微分方程通解中对应 $k$ 项 $\left(C_{1}+C_{2} x+\cdots+C_{k} x^{k-1}\right) \mathrm{e}^{r x}$;
3. 特征根为单复根 $\alpha \pm \beta i(\beta>0)$ 时, 微分方程通解中对应两项 $\mathrm{e}^{\mathrm{ar}}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$;
4. 特征根为 $k$ 重复根 $\alpha \pm \beta i(\beta>0)$ 时, 微分方程通解中对应 $2 k$ 项

$$\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left[\left(C_{1}+C_{2} x+\cdots+C_{k} x^{k-1}\right) \cos \beta x+\left(D_{1}+D_{2} x+\cdots+D_{k} x^{k-1}\right) \sin \beta x\right] .$$

一、一阶线性微分方程

方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

叫做一阶线性微分方程，如果$Q(x)\equiv0$，则方程称为齐次，反之则为非齐次。

1.齐次线性方程

$$\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

分离变量

$$\displaystyle\frac{dy}{y}=-P(x)dx$$

两端积分，整理可得

$$\displaystyle y=\displaystyle Ce^{-\displaystyle\int \displaystyle P(x)dx}$$

2.非齐次线性方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

由常数易变法，可得通解

$$y=e^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}(\int Q(x)e^{\displaystyle\int P(x)dx}dx+C)$$

推导过程

在方程$y'+p(x)y=q(x)$ 两边同时乘以 $\mathrm{e}^{\displaystyle\int p(x) \mathrm{d} x}$, 得

$$\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot y{\prime}+\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} p(x) \cdot y=\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x),$$

$${\left[\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot y\right]{\prime}=\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x)}$$

$$\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot y=\int \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x) \mathrm{d} x+C$$

$$y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}\left[\int \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x) \mathrm{d} x+C\right]$$

二、伯努利方程(仅数一)

方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n\quad(n\neq0,1)$$

叫做伯努利方程.

方程两边同除$y^n$,再令$z=y^{1-n}$,可化为线性方程：

$$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

三、可降阶的高阶微分方程

1.$y^{(n)}=f(x)$型

连续积分即可.

2.$y^{''}=f(x,y^{'})$型

设$y^{'}=p$,则$y^{''}=\displaystyle\frac{dp}{dx}=p^{'}$

可化为一阶微分方程.

3.$y^{''}=f(y,y^{'})$型

令$y^{'}=p$，则$y^{''}=\displaystyle\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

可化为一阶微分方程.

四、高阶线性微分方程

1.线性微分方程解的结构

先讨论二阶齐次线性方程：

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0$$

定理1

如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是上述方程的两个解，那么

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

也是解，其中$C_1,C_2$为任意常数.

定理2

如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是上述方程的两个线性无关的解，那么

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

就是方程的通解，其中$C_1,C_2$为任意常数.

推论

如果函数$y_1(x)$,$y_2(x)$,...$y_n(x)$是$n$阶齐次线性方程的$n$个线性无关的解，那么

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_n(x)$$

就是方程的通解.

定理3

设$y^{*}(x)$是二阶非齐次线性方程

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x)$$

的一个特解.$Y(x)$是对应的齐次方程的通解,则

$$y=Y(x)+y^{*}(x)$$

是二阶非齐次线性方程的通解.

定理4（叠加原理）

设非齐次线性方程的右端$f(x)$是两个函数之和，即

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$

而$y_1^{*}(x)$和$y_2^{*}(x)$分别是方程

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_1(x)$$

与

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_2(x)$$

的特解，则$y_1^{*}(x)+y_2^{*}(x)$就是原方程的特解.

五、常数变易法

1.对于一阶线性非齐次微分方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=P(x)$$

对应的齐次方程的通解为

$$y=Ce^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}$$

将其中的常数$C$换成$x$的未知函数$u(x)$，即

$$y=ue^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}$$

可得

$$\frac{dy}{dx}=u^{'}e^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}-uP(x)e^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}$$

最终整理可得到

$$y=e^{-{\displaystyle\int} P(x)dx}(\int Q(x)e^{\displaystyle\int P(x)dx}dx+C)$$

2.对于二阶线性非齐次微分方程

$$y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x)$$

其对应的齐次方程的通解：

$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

将其中的常数换为关于$x$的函数$v_1(x),,v_2(x)$，即

$$y=v_1y_1(x)+v_2y_2(x)$$

求导可得：

$$y^{'}=y_1v_1^{'}+y_2v_2^{'}+y_1^{'}v_1+y_2^{'}v_2$$