提示

1. 敛散性判断要么使用定义判断（即求出原函数），要么就是与已知敛散性的函数使用判别法进行判断
2. 与敛散性已知的函数进行比较时，一般需要对函数进行放缩，放缩的前提是对该函数的敛散性有个大致判断，如果你认为是发散的，那么就应该往小了缩，因为小的发散，才能证明大的发散，同理，若是需要证明收敛，则应该往大放缩，大的收敛，小的必收敛
3. 具体题目中可能需要根据间断点（奇点），无穷点将积分区间拆分，拆分成典型的反常积分的形式^[1]

敛散性判别法

敛散性判别法

使用的过程中有可能需要将题目中的函数进行放缩

比较判别法

设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty]$上连续，且$0\le f(x)\le g(x)$,则

$$\begin{align*} \int _{a}^{+\infty} g(x) dx\, \text{收敛}\implies \int _{a}^{+\infty}f(x)dx\,\text{收敛}\\ \int _{a}^{+\infty} f(x) dx\, \text{发散}\implies \int _{a}^{+\infty}g(x)dx\,\text{发散} \end{align*}$$

比较判别法的极限形式

设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty]$非负连续，$\displaystyle\lim_{ x \to +\infty } \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$，则

$$\begin{cases} \text{当}\lambda>0\text{时,}\text{同敛散} \\ \text{当}\lambda=0\text{时,}\int _{a}^{+\infty} g(x) dx\, \text{收敛}\implies \int _{a}^{+\infty}f(x)dx\,\text{收敛}\\ \text{当}\lambda=+\infty\text{时,}\int _{a}^{+\infty} f(x) dx\, \text{发散}\implies \int _{a}^{+\infty}g(x)dx\,\text{发散} \end{cases}$$

绝对收敛准则

对于上面两个比较都要求非负,对于被积函数是负的有下面的方法

$$\begin{align*} \int_a^{+\infty}|f(x)|dx\text{ 收敛 }\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)dx\text{ 收敛}\\ \text{若}\int_0^{+\infty}|f(x)|dx\text{ 收敛,则}\quad\text{称}\int_a^{+\infty}f(x)dx\text{ 绝对收敛} \end{align*}$$

常用结论

$$\int _{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \begin{cases} p>1,\text{收敛} \\ p\leq1,\text{发散} \end{cases} \,(a>1)$$

$$\int _{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \begin{cases} 0<p<1,\text{收敛} \\ p\geq1,\text{发散} \end{cases}$$

$$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}\mathrm{d}x \begin{cases} p>1,\text{收敛} \\ p<1,\text{发散 }\\ p=1, \begin{cases} q>1,\text{收敛} \\ q\leq1,\text{发散} \end{cases} \end{cases} \quad (a>1)$$

相关证明

1. $p>1$时

取一足够小的$\epsilon$,使$p-\epsilon>1$,此时

$$\frac{1}{x^p\ln^qx}/\frac{1}{x^{p-\epsilon}}=\frac{1}{x^\epsilon\ln^q x}$$

当$x\to +\infty$时，$\displaystyle\frac{1}{x^\epsilon\ln^q x}\to 0$,幂函数的增长速度比对数函数增长速度快，所以无论q为多少，都是趋于0的^[2]，由敛散性判别法,可知积分收敛

2. $p<1$时

取一足够小的$\epsilon$,使$p+\epsilon<1$,此时

$$\frac{1}{x^p\ln^qx}/\frac{1}{x^{p+\epsilon}}=\frac{x^\epsilon}{\ln^q x}$$

当$x\to +\infty$时，$\displaystyle\frac{x^\epsilon}{\ln^q x}\to \infty$,由敛散性判别法,可知积分发散

3. $p=1$时

此时原积分转变为

$$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^qx}\mathrm{d}x =\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{\ln^qx}\mathrm{d}(\ln x)$$

即转变为常用结论中的$p$积分，可知此时
1. $q>1$时，收敛
2. $q\leq 1$时，发散

综上，可得

$$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}\mathrm{d}x \begin{cases} p>1,\text{收敛} \\ p<1,\text{发散} \\ p=1, \begin{cases} q>1,\text{收敛} \\ q\leq1,\text{发散} \end{cases} \end{cases} \quad (a>1)$$

瑕积分

$$\int _{a}^b \frac{1}{(x-a)^p} dx,\int _{a}^b \frac{1}{(b-x)^p} dx \begin{cases} p<1\text{,收敛} \\ p\geq 1\text{,发散} \end{cases}$$

对称区间上奇、偶函数的反常积分

需要注意的是，与通常的奇偶函数在对称区间上的定积分相比较，这里多了一个要求“收敛” 的条件,如果不满足这条件,结论是不成立的。例如,按照定义

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx= \int _{-\infty}^0\frac{x}{1+x^2} dx+\int _{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx$$

而

$$\int _{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx=\frac{1}{2} \lim_{ b \to +\infty }\ln(1+x^2)|^b_{0} =+\infty$$

是发散的，故$\displaystyle\int _{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx$发散，而不能认为被积函数是奇函数，该积分为0

$$\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2} dx=2\int _{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{ \pi }$$

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1. 例如本章中关于瑕积分后面对称区间上奇、偶函数的反常积分中的例子 ↩︎

2. $q>0$时很好理解，$q<0$时，对数部分在分子部分，此时不管$q$为多少，在$x\to+\infty$时，通过洛必达，总能出现$\displaystyle\frac{\ln x}{x}$的结果，最终得该极限为0 ↩︎