极限

提示

技巧: 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}=\frac{a_{m} x{\prime \prime}+a_{m-1} x^{\prime \prime-1} y+\cdots+a_{1} x y^{\prime \prime \prime}+a_{0} y{\prime \prime}}{b_{n} x^{n}+b_{n-1} x^{n-1} y+\cdots+b_{1} x y^{n-1}+b_{0} y^{n}}$, 分子与分母互质, 考察 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时的极限, 可用下述结论:

1. 当 $m>n$ 时, 若 $Q(1, y)$ 与 $Q(x, 1)$ 均无零点, 则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$; 若 $Q(1, y)$ 或 $Q(x, 1)$ 有零点, 则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 不存在.
2. 当 $m\leq n$时，极限不存在

偏导数

定义 2 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义. 若极限

$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}$$

存在, 则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数。

注意

判断偏导是否存在就用定义

可微

定义 3 如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 可表示为

$$\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),$$

其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}, A, B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ 而仅与 $x, y$ 有关, 则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微, 而称 $A \Delta x+B \Delta y$ 为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分, 记作 $\mathrm{d} z$, 即 $\mathrm{d} z=A \Delta x+B \Delta y$.

判断函数$z=f(x, y)$是否可微步骤

1. 写出全增量 $\Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$;
2. 写出线性增量 $A \Delta x+B \Delta y$, 其中 $A=f_{x}{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), B=f_{y}{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$;
3. 作极限 $\displaystyle\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta z-(A \Delta x+B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$, 若该极限等于 0 , 则 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微, 否则, 就不可微.

提示

基本概念综合例题

注意

普通求偏导

题目强调y，z是x函数求偏导