链式求导法则

隐函数存在定理（公式法）

逆问题

1. 求方程 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ 满足条件 $z(x, 0)=x, z(0, y)=y^{2}$ 的解 $z=z(x, y)$ .

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解 将$\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ 两边对 $y$ 积分, 得

$$\frac{\partial z}{\partial x}=x y+\frac{1}{2} y^{2}+\varphi_{1}(x)$$

对上式两边对 $x$ 积分^[1], 得

$$z=\frac{1}{2} x^{2} y+\frac{1}{2} x y^{2}+\varphi(x)+\psi(y) .$$

现在来确定 $\varphi(x)$ 和 $\psi(y)$.
由已知 $z(x, 0)=x, z(0, y)=y^{2}$, 代入上式有 $x=\varphi(x)+\psi(0), y^{2}=\varphi(0)+\psi(y)$, 于是

$$z=x+y^{2}+\frac{1}{2} x^{2} y+\frac{1}{2} x y^{2}-[\varphi(0)+\psi(0)] .$$

又因 $z(0,0)=0$, 故 $\varphi(0)+\psi(0)=0$, 则

$$z=z(x, y)=x+y^{2}+\frac{1}{2} x^{2} y+\frac{1}{2} x y^{2} .$$

2. 已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{d} x+\sin y \mathrm{d} y$ , 且 $f(1,0)=2$ , 求 $f(x, y)$ .

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解 由全微分定义知

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2 x, \frac{\partial f}{\partial y}=\sin y,$$

于是 $f(x, y)=x^{2}+\varphi(y)$, 且 $\frac{\partial f}{\partial y}=\varphi{\prime}(y)=\sin y$, 从而得 $\varphi(y)=-\cos y+C$, 于是 $f(x, y)=x^{2}-\cos y+C$. 再由 $f(1,0)=1-1+C=2$, 得 $C=2$, 所以 $f(x, y)=x^{2}-\cos y+2$.

注意

根据上面的题目可以对比得到，一元函数积分要加常量C，但是多元就要加$\psi(y)$^[2]

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1. 注意上面的是$\varphi_{1}(x)$也要对x积分变成了$\varphi(x)$ ↩︎

2. y只是一个泛指 ↩︎