一些思想

在很多计算题中，当我们遇到两个式子相等时，一般的做法就是两者加起来再除以 2,一般相加后表达式会得到极大的简化

例如

$$\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y =\iint_{D}\left(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{R}\left(r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta\right) r \mathrm{d} r=\frac{\pi R^{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)}{4 a^{2} b^{2}} .$$

其中 区域 $D=\left\{(x, y) | x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}$