原函数与不定积分

设函数$f(x)$定义在某区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，对于该区间上任意一点，都有$F'(x)=f(x)$成立，则称$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，称$\int f(x) \, dx=F(x)+C$为$f(x)$在区间$I$上的不定积分

注意

1. 谈到函数$f(x)$的原函数与不定积分，必须指明$f(x)$所定义的区间
2. 任意一点，根据这个任意一点有了下面的原函数存在定理

原函数(不定积分)存在定理

1. 连续函数$f(x)$必有原函数$F(x)$
2. 含有第一类间断点和无穷间断点^[1]的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内必没有原函数$F(x)$

连续一定有原函数，但不连续也可能有原函数，振荡间断点可能有原函数也可能没有

注

综上，可导函数$F(x)$求导后的函数$F'(x)=f(x)$不一定是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点（在考研的范畴内，只能是震荡间断点）

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1. 属于第二类间断点，震荡间断点也属于第二类间断点，但是含有震荡间断点的函数是否有原函数不确定 ↩︎