静度余生

平面图形面积

极坐标曲线 $r=r(\theta)$ 介于射线 $\theta=\alpha$ 与 $\theta=\beta(0<\beta-\alpha\leq 2\pi$ 之间的曲边扇形面积

S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta) \, dx

\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \,(\alpha\leq t\leq\beta)

所围成平面图形的面积为

S=\int_{\alpha}^{\beta} \mid y(t)x(t)'\mid \, \mathrm{d}t\ \text{或}S=\int_{\alpha}^{\beta} \mid x(t)y(t)'\mid \, \mathrm{d}t\

若平面区域 $D$ 由曲线 $y=f(x),(f(x)\ge 0),x=a,x=b(a<b)$

V=2\pi \iint_{D}r(x,y)\mathrm{d}\sigma

其中 $r(x,y)$ 为区域中一点到所绕轴线的距离^[1]，按照中学公式，有

r(x,y)=\frac{\mid ax+by+c\mid}{\sqrt{ a^2+b^2 }}

按照公式可以推出:

V_{x}=\pi \int _{a}^b f^2(x) dx

V_{y}=2\pi \int _{a}^bxf(x) dx

该公式还适应与更一般的情况，例如轴线非坐标轴

提示

直接从公式上理解：

每一个截面都是圆，其面积为 $\pi f^2(x)$ ，在 $x$ 方向积分得到体积

可以理解为一层层的圆柱壳，圆柱的表面积可以理解为将柱面展开，得到一个长方形，其长为 $2\pi x$ ，高为 $y(x)$ ，再在 $x$ 方向积分

弧微分

\mathrm{d}s = \sqrt{ (\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2 }=\sqrt{ 1+\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2 }\mathrm{d}x=\sqrt{ 1+y'^2 }\mathrm{d}x

此外还有

s=\int _{\alpha}^{\beta}\sqrt{ x'^2+y'^2 } \mathrm{d}t

s=\int _{\alpha}^{\beta}\sqrt{ \rho^2+\rho'^2 } \mathrm{d}\theta

极坐标下弧长计算推导

由

\begin{cases} x=x(\theta)=\rho(\theta)\cos \theta \\ y=y(\theta)=\rho(\theta)\sin \theta \end{cases} (\alpha\le\theta\le\beta)

$\rho$ 是 $\theta$ 的函数，求导时候注意，然后根据参数方程下弧长的计算方法

积分上下限与积分变量的关系

在使用定积分时，需要注意积分上下限与积分变量的强关联，例如在求摆线

\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases} \quad (0\leq t\leq 2\pi)

与 $x$ 轴围成的面积中，有

\begin{align*} S=\int _{0}^{2\pi a}y(x) dx &=\int_{0}^{\color{Red}2\pi } a(1-\cos t)a(1-\cos t) dt \\ &=a^2\int _{0}^{2\pi}\left( 2\sin \frac{t}{2} \right)^2 dt\\ &=4a^2\int _{0}^{2\pi}\sin^4 \frac{t}{2} dt\\ &=8a^2\int _{0}^{\color{red}\pi}\sin^4 u du\,\left( \text{令} \frac{t}{2}=u \right) \end{align*}

在区间 $[a,b]$ 上的曲线 $y=f(x)$ 的弧段绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转曲面面积

S=2\pi \int _{a}^b\mid y\mid \sqrt{ 1+f'^2(x) } dx ,a<b

可以理解为 $2\pi\mid y\mid$ 为弧上一点绕 $x$ 轴的圆周长，后面的 $\sqrt{ 1+f'^2(x) } dx$ 是弧微分，两者相乘相当于是一个曲面上的一小部分面积，积分累加即为表面积